Важна математичка правила – аритметика
Декадне јединице и декадни запис природних бројева
- Број хиљаду хиљада назива се милион – 1 000 000
- Декадне јединице до милион могу се написати и овако:
- 10 = 101
100 = 102
1 000 = 103
10 000 = 104
100 000 = 105
1 000 000 = 106
- наведени записи 101, 102, 103, …, 106 називају се степени.
- бројеви 1, 2, 3, …, 6, у степену показују колико се пута број 10 јавља као чинилац
- Вишеструке декадне јединице као што су: 300, 2 000, 15 000, 900 000 краће записујемо у облику производа једноцифреног броја и декадне јединице коју изражавамо степеном:
300 = 3 ∙ 100 = 3 ∙ 102
2 000 = 2 ∙ 1 000 = 2 ∙ 103 - За писање неких вишецифрених бројева иста цифра се користи на различитим местима. Вредност цифре зависи од места на коме је она написана. Место цифре у неком броју зове се месна вредност те цифре.
- Да бисмо бројеве правилно читали и писали, распоређујемо их у класе.
- Свака класа има у себи јединице, десетице и стотине
- Прве четири класе су класа јединица, класа хиљада, класа милиона и класа милијарди.
- При читању, свака класа се чита као троцифрени број и изговара се оме класе.
- При писању вишецифрених бројева, између класа се оставља мали размак:
1 000, 100 000, …
Уређеност скупа природних бројева
- Бројеви 1, 2, 3, …, 9, 10, 11, …, 98, 99, 100, …, 999, 1 000, 1 001, …, 999 999, 1 000 000, 1 000 001, …, 999 999 999, 1 000 000 000, 1 000 000 001, …, 999 999 999 999, …
- Бројање смо започли најмањим природним бројем 1.
- Тачкице после броја 999 999 999 999 показују нам да се низ бројева наставља неограничено по истом правилу (сваки следећи број је за један већи.
- Скуп природних бројева означавамо словом N и записујемо:
N = {1, 2, 3, …}
- Скуп природних бројева и броја 0 означавамо са
N0 = {0, 1, 2, 3, …}
и називамо проширени скуп природних бројева или скуп природних бројева и нулр. - Скуп природних бројева је уређен, јер за свака два његова члана a и b важи једно од следећих тврдњи.
a = b или a > b или a < b - Број за један већи од датог природног броја назива се следбеник, а број за један мањи од датог броја назива се претходник тог броја.
Број 1 нема претходника у скупу N - Природне бројеве између којих не постоји ниједан природан број, називамо узастопни бројеви.
- Између било која два природна броја који нису узастопни, постоје други природни бројеви. Њихов је број тачно одређен.
- Дуж на полуправој којој је придружен мерни број 1, назива се јединична дуж.
- На бројевној полуправој нанете су јединичне дужи од њеног почетка, редом, надовезивањем.
- Почетку бројевне полуправе придружен је број нула, а крајевима нанетих јединичних дужи, придружују се редом бројеви 1, 2, 3, 4, …
- Упоређујући дужи на бројевној полуправој, могу се упоређивати одговарајући природни бројеви.
| Сабирање | Одузимање |
| a + b = c | a − b = c |
| a – први сабирак b – други сабирак c – збир |
a – умањеник b – умањилац c – разлика |
- Одузимање можемо проверити сабирањем.
Ако је a − b = c онда је c + b = a - Операције сабирања и одузимања су узајамно супротне.
- Заменом места сабирака збир се не мења.
За било која два природна броја a и b важи:
a + b = b + a- Заменом места сабирања можемо олакшати израчунавање збира.
- Здруживање сабирака се користи за лакше израчунавање збира
(a + b) + c = a + (b + c)
- Када је један сабирак 0, збир је једнак другом сабирлу.
a + 0 = 0 + а = а - У скупу N0 број 0 не може бити умањеник.
- Када је умањилац 0, разлика је једнака умањенику.
a − 0 = а - Операција одузимања није изводљива у скупу N и N0
- Број за 1 већи од броја a је следбеник броја а. Пишемо: a + 1
- Број за 1 мањи од броја a је претходник броја а. Пишемо: a − 1
- Збир два броја се не мења ако се један сабирак повећа за неки број. а други смањи за исти тај број. Та особина зове се сталност збира.
a + b = (a + n) + (b − n)
a + b = (a − m) + (b + m)
Зависност разлике од промене умањиоца
- Ако се умањилац повећа а умањеник остане исти њихова разлика ће се смањити за онолико за колико се умањилац повећао.
- Ако се умањилац смањи а умањеник остане непромењен њихова разлика ће се увећати за онолико за колико се умањилац смањио.
- Разлика се не мења ако се умањеник и умањилац повећају за исти број или се и умањеник и умањилац смање за исти број
(a + c) − (b + c) = a − b
(a − c) − (b − c) = a − b
Ово је сталност (или непроменљивост) разлике.
- Ако је a + x = c, онда је x = c − a
- Ако је x + a = c, онда је x = c − a
- Непознати сабирак се израчунава тако што се од збира одузме познати сабирак.
- Ако је x − a = c, онда је x = c − a
- Непознати умањеник се израчунава тако што се умањилац и разлика саберу.
- Ако је a − x = c, онда је x = а − c
- Непознати умањилац се израчунава тако што се од умањеника одузме разлика.
- Ако је x + a < b онда је x < b – a
- Ако је x + a > b онда је x > b – a
- Ако је а + x < b онда је x < b – a
- Ако је а + x > b онда јe x > b – a
- Ако је x – a < c онда је x < c + a
- Ако је x – a > c онда је x > c + a
- Ако је а – x < c онда је x > a – c
- Ако је а – x > c онда јe x < a – c
- Множење је скраћено сабирање истих сабирака.
а ∙ 2 = a + a
а ∙ 3 = a + a + a
Множење и дељење су повезане рачунске операције.
а ∙ b = c
c : a = b или c : b = a
Извор: https://sites.google.com/site/matematikaosnovcima/home
Мoја школа
Ћирилица
Електронски дневник
Учитељски кутак 